Його маса від dm =. Момент інерції виділеної ділянки знайдемо за формулою (4.14) для матеріальної точки: Величина х може змінюватися в межах від 0 до l, тому момент інерції всього стержня дорівнює інтегралу в цих межах: Момент інерції використовується при обчисленні кінетичної енергії обертового тіла і при описі самого обертання .

Кінетична енергія тіла, що обертається навколо осі дорівнює половині твори його моменту інерції на квадрат кутової швидкості: Рівняння, що описує обертання твердого тіла, називається основним рівнянням динаміки обертального руху і фактично не відрізняється від рівняння (4.15) для матеріальної точки: 3) можна перетворити до вигляду , який виявляється корисним при вирішенні багатьох завдань: Вираз, що стоїть в дужках, називається моментом імпульсу тіла.

Моментом імпульсу (L) тіла, що обертається навколо осі, називається величина, що дорівнює добутку моменту інерції відносно даної осі на кутову швидкість обертання: Розмірність моменту імпульсу в СІ - кг &903; м2 / с.

Примітка. У тих випадках, коли кутову швидкість обертання розглядають як вектор, момент імпульсу теж є вектором. У цьому підручнику такі випадки не розглядаються.

З урахуванням цього визначення вираз (7.4) приймає вигляд: Моменти інерції деяких симетричних тел представлені Приблизні значення моментів інерції тулуба людини і його кінцівок обчислюються за формулами для циліндра або за допомогою досвідчених даних. Для довгих ланок кінцівок моменти інерції приблизно рівні 0,3 ml2 (де т - маса ланки, l - його довжина). Моменти інерції елементів кінцівок представлені в табл. 7.1.

Момент інерції тіла людини щодо заданої осі визначається як сума моментів інерції всіх ланок тіла відносно тієї ж осі. Найменший момент інерції тіло людини має у випрямленій стані щодо поздовжньої осі тіла, що проходить через його центр мас. Цілеспрямоване зміна моменту інерції тіла людини широко використовується при управлінні обертальними рухами в різних видах Cпорт.

Момент інерції щодо вертикальної осі обертання, що проходить через центр мас (центр мас людини знаходиться в саггітальной площині кілька попереду другого крижового хребця) залежно від положення людини, має такі значення, а) 1,2 кг &903; м2 - при стійці «струнко», б) 8 кг &903; м2 - при стійці «арабески», в) 17 кг &903; м2 - в горизонтальному положенні.

До визначення моменту інерції тіла в різних положеннях: Тіло може обертатися не тільки навколо закріпленої осі, але й навколо осі, яка не закріплена. У будь-якому тілі можна вибрати такі осі, напрямок яких при обертанні навколо них буде зберігатися без будь-яких спеціальних пристроїв (наприклад, підшипників). Такі осі називають вільними.

Вільні осі - осі, які без спеціального закріплення зберігають свій напрям у просторі.

Приклад: вісь обертання Землі і дзиги, ось всякого кинутого і вільно обертового тіла.

Очевидно, що для однорідних тел вільної віссю є вісь повної геометричної симетрії. Можна довести, що в будь-якому тілі є не менше трьох взаємно перпендикулярних вільних осей обертання, ці осі називаються головними осями інерції. При цьому виявляється, що за відсутності зовнішніх впливів стійким є обертання тіла лише навколо двох осей, щодо яких воно має найбільший або найменший момент інерції. Наприклад, якщо, підкинувши тіло, привести його в обертання відносно довільної осі, то, падаючи, воно саме по собі перейде до обертання навколо осі, якій відповідає або найбільший, або найменший момент інерції. У деяких випадках, коли тіло обертається близько вільної осі з малим моментом інерції, воно мимовільно змінює цю ось на вісь з найбільшим моментом. показана ілюстрація цього явища.

До електродвигуну підвішено на нитки циліндричне тіло, яке може обертатися навколо своєї геометричної вертикальної осі (а) з моментом інерції J1 =.